8.1.2

Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

Los exponentes también se llaman potencias o índices.

   Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales. 
6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 6⁵
Base de una potencia
La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 6.
Exponente de una potencia
El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos labase, en el ejemplo es el 5.

¿Qué pasa si el exponente es 1 o 0?

• Si el exponente es 1, entonces tienes el número solo (por ejemplo 9¹ = 9)
• Si el exponente es 0, la respuesta es 1 (por ejemplo 9⁰ = 1)

Cualquier número elevado a cero, el resultado es 1.

Ya sabes que el cociente de dos números iguales es 1: 

     Pero también       Luego   

En el caso:     Podemos decir:    Luego   

Productos de potencias:  

Si tenemos que multiplicar dos potencias que tienen la misma base te basta escribir la misma base y como exponente escribes la suma de los exponentes:

= 

Los exponentes hacen más fácil escribir muchas multiplicaciones

Ejemplo:  9⁶ es más fácil de escribir y leer que: 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9

Un producto de dos potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.

**** Si las bases no son iguales NO SE DEBEN SUMAR LOS EXPONENTES. Primero calculas una potencia y después la segunda, luego la siguiente si es 
que existe, y al final, multiplicas los resultados que has obtenido***

Ejemplo 1: 
Ejemplo 2: 

MULTIPLICAR POTENCIAS CON EL MISMO EXPONENTE:

Si los exponentes son iguales, puedes multiplicar las bases y colocar el mismo exponente:

  

Ejercicio de productos de potencias

DIVIDIR POTENCIAS DE LA MISMA BASE:

Para dividir potencias que tengan la misma base, se restan los exponentes. Recuerda, para multiplicar se suman los exponentes, para dividir, se restan:

ejemplo  1.-   

ejemplo 2.-  

***DIVIDIR POTENCIAS DE BASE DIFERENTE: Para dividir potencias que no tienen la misma base, calculas el valor de cada una y divides sus cocientes***

DIVIDIR POTENCIAS CON EL MISMO EXPONENTE:

Si los exponentes son iguales, puedes dividir las bases y colocar el mismo exponente:

  

Resuelve y comprueba:

  

Respuesta:

1)   

                                                 Resuelve ejercicios 

Exponentes negativos

¿Negativos? ¿Qué es lo contrario de multiplicar? ¡Dividir! Un exponente negativo significa cuántas veces se divide entre el número.

Ejemplo: 8^-1 = 1 ÷ 8 = 0.125

O varias divisiones:

Ejemplo: 5^-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0.008

                                          5^-3 también se podría calcular así:

                                          1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/5³ = 1/125 = 0.008

Ejercicios de exponentes negativos

ELEVAR UNA POTENCIA A OTRA POTENCIA:

Una potencia elevada a otra potencia tiene por base la misma y por exponente el producto de exponentes:

2.25  

2.26  

Ejercicios de potencias de potencias

Cociente de potencias con el mismo exponente:

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ

6³ : 3³ = 2³

Ejercicios de cocientes de potencias

POTENCIAS DE BASE NEGATIVA:

Una potencia de base negativa como:

   ó

El signo del resultado depende del exponente. Si es par, el resultado es positivo y si es impar, es negativo. ¿Por qué?

(Recuerda que el asterisco (*) equivale al signo )

Si a un número negativo le multiplicas por sí mismo, es decir, dos veces, -2*-2, primero multiplicas los signos y obtendrás: menos por menos igual a más. Si vuelves a multiplicar por -2 tienes: más (del último producto) por menos igual a menos:

(-2)*(-2) = 4

(-2)*(-2)*(-2) = -8

(-2)*(-2)*(-2)*(-2) = (-8)*(-2) = 16