8.3.3

8.3.3 Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.

¡¡para recordar!!

Polígonos

Un polígono es una figura plana con lados rectos.

¿Es un polígono?

Los polígonos son figuras cerradas. Están hechos con líneas rectas, y su forma es "cerrada" (todas las líneas están conectadas), a las que llamamos lados.


Polígono (lados rectos)	No es un polígono (tiene una curva)	No es un polígono (abierto, no cerrado)

Tipos de polígonos

Simple o complejo

Un polígono simple sólo tiene un borde que no se cruza con él mismo. ¡Uno complejo se interseca consigo mismo!


Polígono simple (este es un pentágono)	Polígono complejo (también es un pentágono)

Cóncavo o convexo

Un polígono convexo no tiene ángulos que apunten hacia dentro. En concreto, los ángulos internos no son mayores que 180°.

Si hay algún ángulo interno mayor que 180° entonces es cóncavo. (Para acordarte: cóncavo es como tener una "cueva")


Convexo	Cóncavo

Regular o irregular

Si todos los ángulos son iguales y los lados también, es regular, si no es irregular


Regular	Irregular

Consigna: realicen las siguientes actividades.

1. Dibujen un polígono convexo de cualquier número de lados (uno diferente cada integrante del equipo) y tracen las diagonales del polígono desde un mismo vértice. ¿Qué figuras se forman al interior del polígono?___________________

2. Completen la siguiente tabla.

Polígono	Número de lados	Cuántos triángulos hay
triángulo
cuadrilátero
pentágono
hexágono
heptágono
octágono
eneágono
decágono
Polígono de n lados

Recordemos los visto en sesiones anteriores

Triángulos

Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°


90° + 60° + 30° = 180°	80° + 70° + 30° = 180°

Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360°

Porque en un cuadrado hay dos triángulos

Los ángulos interiores de este triángulo suman 180°

(90°+45°+45°=180°)

... y los de este cuadrado360°

... ¡porque el cuadrado está hecho de dos triángulos!

Pentágono

Un pentágono tiene 5 lados, y se puede dividir en tres triángulos, así que ...

... sus ángulos interiores suman 3 × 180° = 540°

Y si es regular (todos los ángulos son iguales), cada uno mide 540° / 5 = 108°

Consigna: La siguiente tabla es similar a la de la sesión anterior pero se le agregó una columna. Organizados en equipos, anoten los datos que faltan.

Polígono	Número de lados	Cuántos triángulos hay	Suma de los ángulos internos del polígono
triángulo
cuadrilátero
pentágono
hexágono
heptágono
octágono
eneágono
decágono
Polígono de n lados	n

¿Cuál es la expresión que permite calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono?_______________________________________________

Consigna: Organizados en equipos, respondan las siguientes preguntas y justifiquen sus respuestas.

1. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un dodecágono regular?___________

¿Por qué?_______________________________________________________

2. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 1620°, ¿Cuántos lados tienen el polígono?______ ¿Cómo se llama?______________

3. La siguiente figura muestra una parte de un polígono regular.

¿De qué polígono se trata?_______________ ¿Por qué?_________________________

4. En el centro de la plaza de mi pueblo hay un kiosco de forma octagonal donde se presentan artistas y diversos eventos. Quieren colocar en cada esquina un adorno y para que la base del adorno quede justa, necesitan saber cuánto miden los ángulos internos del piso del kiosco, que tiene forma de octágono.

¿Cuál es la expresión que permite calcular la medida de un ángulo interno del piso del kiosco?__________________________

8.3.2

8.3.2 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.

Antes de comenzar recordemos que una expresión algebraica es:

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes.

Por ejemplo:

6 a²b³es término semejante con – 2 a²b³ porque ambos tienen el mismo factor literal (a²b³)

1/3 x⁵yz es término semejante con x⁵yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x⁵yz)

0,3 a²c no es término semejante con 4 ac² porque los exponentes no son iguales, están al revés.

Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal.

Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva el factor literal.

Recordando cómo se suman los números enteros:

Las reglas de suma se aplican únicamente a dos casos: números de igual signo y números con signo distinto.

Las reglas a memorizar son las siguientes:

a) Números de igual signo: Cuando dos números tienen igual signo se debe sumar y conservar el signo.

Ej : – 3 + – 8 = – 11 ( sumo y conservo el signo)

12 + 25 = 37 ( sumo y conservo el signo)

Ej : – 7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 - 7 = 5

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto

5 + – 51 = – 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)

– 14 + 34 = 20

Recordando cómo se resta:

Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente.

Son dos los cambios de signo que deben hacerse:

a) Cambiar el signo de la resta en suma

b) Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario

Ej: – 3 – 10 = – 3 + – 10 = – 13 ( signos iguales se suma y conserva el signo)

19 – 16 = 19 + – 16 = 19 – 16 = 3

Consigna 1

Analicen la siguiente figura; luego respondan lo que se pide:

a) ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo blanco?

b) ¿Cuál es el perímetro y el área del rectángulo blanco?

c) ¿Cuál es el perímetro y el área de la parte sombreada?

Consigna 2: , resuelvan el siguiente problema:

Se está armando una plataforma con piezas de madera como las siguientes:

De acuerdo con las dimensiones que se indican en los modelos:

¿Cuáles son las dimensiones (largo y ancho) de la plataforma?

¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la plataforma?

¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro de la plataforma?

Si x es igual a 50 cm, ¿cuál es el perímetro y área de la plataforma?

Resuelve los siguientes ejercicios:

a) (x + 9)² =

b) (x – 10)² =

c) (2x +y)²=

d) (x + m)(x + m) =

e) (x - 6)(x -6 ) =

8.3.1

8.3.1 Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis si fuera necesario, en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios.

cuando se agrupan varios números u operaciones, es importante conocer el orden o jerarquía en que deben resolverse para obtener un resultado correcto.

Ejemplo 1:

Para resolver 3 x 6 + 4.

Podría interpretarse como: 3 x (6 + 4) = 3 x 10 = 30.

O bien, como: (3 x 6) + 4 = 18 + 4 = 22.

Ejemplo 2: De igual manera, 8 x 3 + 5 se podría interpretar como:

8 x (3 + 5) = 8 x 8 = 64 o también como:

(8 x 3) + 5 = 24 + 5 = 29.

¿Cuáles serían los resultados correctos?

Para resolver correctamente el problema se utilliza la "Jerarquía de operaciones", en el siguiente orden:

1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2º.Calcular las potencias y raíces.
3º.Efectuar los productos y cocientes.
4º.Realizar las sumas y restas.

Por tanto, los resultados correctos de los ejercicios anteriores son:

3 x 6 + 4 = 18 + 4 = 22

8 x 3 + 5 = 24 + 5 = 29

Consigna: Resuelvan las siguientes operaciones. Pueden utilizar una calculadora para verificar sus resultados.

a) 20 + 5 x 38 =

b) 240 – 68 ¸4 =

c) 250 ¸ 5 x 25 =

d) 120 + 84 – 3 x 10 =

e) 230 – 4 x 5² + 14 =

Consigna 2: En equipos resuelvan lo siguiente. Pueden utilizar la calculadora.

¿En qué orden se deben efectuar los cálculos en las siguientes expresiones para obtener los resultados que se indican? Pongan paréntesis a los cálculos que se hacen primero.

25 + 40 x 4 – 10 ¸ 2 = 180

8 – 2 ÷ 3 + 4 x 5 = 22

15 ÷ 3 – 7 – 2 = 0

18 + 4 x 3 ÷ 3 x 2 = 26

21 – 14 ÷ 2 + 7 x 2 = 28

Consigna 3: Resuelvan el siguiente problema:

Adrián fue a comprar un par de cuadernos en una papelería que tenía la siguiente oferta:

El precio de un cuaderno, sin descuento, era de $25.00. El pagó con un billete de $100.00 y le dieron de cambio $60.00.

De acuerdo con esta información, ¿cuál de las siguientes operaciones representa la situación anterior?

Realiza ejercicios en el siguiente enlace: Jerarquía de operaciones