8.4.2

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.


Se llama ecuación a la igualdad entre dos expresiones algebraicas, que serán denominados miembros de la ecuación. En las ecuaciones, aparecerán relacionados a través de operaciones matemáticas, números y letras (incógnitas).

Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1
Y también el tema nos hace mención que trabajaremos con ecuaciones de primer grado, esto es:
Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por tanto, a 1).
Ejemplos:
3x + 1 = x - 2
x - 3 = 2 + x.

A continuación, tenemos un ejemplo de resolución de ecuaciones de primer grado.
3x + 9 = 2x - 3
3x + 9 = 2x + -3
3x - 2x = -9 + -3   (Al sumar queda la x sola por lo tanto x = -12 )
x = -12


Es importante tener presente que cuando se pasa un término de un lado hacia otro se pone el signo contrario: si esta positivo pasa negativo y viceversa, si está multiplicando pasa dividiendo y viceversa.

Analicen la siguiente situación y encuentren el valor de x.





Resuelvan los siguientes problemas:

a) Considerando que las siguientes figuras tienen igual perímetro, ¿cuál es el valor de x?





 






b) Un avión que vuela a una velocidad de 1 040 kilómetros por hora, va a alcanzar a otro que lleva una delantera de 5 horas y está volando a 640 kilómetros por hora. ¿Cuánto tardará el primer avión en alcanzar al segundo?











8.4.1

 Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros.

¿Qué es una sucesión?


Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

La regla

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez: 
{3, 5, 7, 9, ...}

Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?

Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:
Probamos la regla: 2n
nTérminoPrueba
132n = 2×1 = 2
252n = 2×2 = 4
372n = 2×3 = 6
Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:
Probamos la regla: 2n+1
nTérminoRegla
132n+1 = 2×1 + 1 = 3
252n+1 = 2×+ 1 = 5
372n+1 = 2×3 + 1 = 7

Resuelve los siguientes ejercicios:

1) La siguiente expresión algebraica: 2n-30, es la regla general de una sucesión, en la que n representa el número de posición de un término cualquiera de la sucesión.

a)    Encuentren los primeros cinco términos de la sucesión.

b)    Encuentren los términos de la sucesión que ocupan los lugares 20, 30, 40, 50, respectivamente.

c)    Determinen si el número 85 pertenece o no a esta sucesión.


2) A partir de la sucesión: -3, -6, -9, -12, -15, …

a)    ¿Cuál es el número que se localiza en la posición 20?

b)    ¿Cuál es el número que se localiza en la posición 150?

c)    ¿Cuál es la regla general de la sucesión?

d)    ¿Cuál es el número que se localiza en la posición 528?

3)  Encuentra la regla general de las siguientes sucesiones:
a) -30, -60, -90, -120, …
b) -5, -10, -15, -20, …
c) -2, -1, 0, +1, +2, …




8.3.8

8.3.8             Análisis de propiedades de la media y mediana.


Media aritmética
  1. En matemáticas y estadística, la media aritmética de un conjunto finito de números es el valor característico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida ..

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total dedatos.
símbolo de la media aritmética es el símbolo de la media aritmética.
fórmula de la media
Mediana
La mediana estadística es el número central de un grupo de números ordenados por tamaño. Si la cantidad de términos es par, la mediana es el promedio de los dos números centrales

cómo calcular la mediana

Es el número en el medio de una lista ordenada.

Para calcular la mediana, ordena los números que te han dado según su valor y encuentra el que queda en el medio.
Mira estos números:
3, 13, 7, 5, 21, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29

Si los ordenamos queda:

3, 5, 7, 12, 13, 14, 21, 23, 23, 23, 23, 29, 39, 40, 56
Hay quince números. El del medio es el octavo número:
3, 5, 7, 12, 13, 14, 21, 23, 23, 23, 23, 29, 39, 40, 56
La mediana de este conjunto de valores es 23.
Consigna: Analicen y resuelvan los siguientes problemas.
1.    A una fiesta asisten 10 amigos de la escuela incluyendo al anfitrión. Cada uno coopera con cierta cantidad de dinero de manera voluntaria. El que coopera con más dinero fue Juan, el anfitrión, quien puso 90 pesos. El que puso menos fue Pedro con 70 pesos. Al final Juan dijo que en promedio los miembros del grupo habían colaborado con 100 pesos.

a.     ¿Qué piensan de la afirmación de Juan?

b.    Si en realidad en promedio los asistentes a la fiesta dieron 80 pesos, ¿qué cantidad de dinero dio cada uno? Consideren lo que aportaron Juan y Pedro.

c.     Considerando la respuesta anterior. Si a la fiesta llega un integrante más, Raúl, y éste no aporta nada, ¿el promedio sigue siendo el mismo? ¿por qué?

2.     En el periódico se afirma que en promedio cada familia mexicana tiene 2.3 hijos.

¿Qué significa este número en términos de los hijos 

Consigna: En equipo resuelvan el siguiente problema.
En una sucursal de minisúper hay siete empleados que se han quejado con la gerencia asegurando que el salario semanal es de $900.00. La gerencia responde que el salario correcto es de $1313.63 semanal. La siguiente tabla contiene los salarios semanales de todos los empleados.

CARGO
SALARIO
NÚMERO DE EMPLEADOS
Gerente
$3,500.00
1
Subgerente
$2,600.00
1
Cajero
$1,500.00
1
Abarrotero
$950.00
1
Auxiliar de venta
$900.00
3
Mantenimiento
$800.00
4

a)    ¿Qué medida utilizaron los empleados para manifestar su inconformidad? ______________ ¿Por qué? _____________________________________________
____________________________________________________________________

b)    ¿Qué medida utilizó la gerencia para contestar a los empleados? ________________ ¿Por qué? ____________________________________________________________
_____________________________________________________________________

c)    ¿Cuál de las dos medidas es más representativa del salario de todos los empleados de la tienda? ___________________ ¿Por qué? _________________________________

_____________________________________________________________________

8.3.7

8.3.7  Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia) según el caso y análisis de la información que proporcionan.

Consigna. Organizados en equipos, analicen la información y hagan lo que se indica.

En un laboratorio se tomó una muestra de 120 paquetes de leche en polvo cuya etiqueta dice: Contenido neto 250 g. Se trataba de averiguar el peso real de cada paquete y se obtuvieron los siguientes datos, ya ordenados de menor a mayor.

243, 243, 243, 244, 244, 245, 245, 246, 246, 246, 246, 246, 246, 246, 247, 247, 247, 247, 247, 247, 247, 247, 247, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 253, 253, 253, 253, 253, 253, 254, 254, 254, 254, 254, 255, 255, 255, 255, 255, 256, 256,256, 257, 257, 257, 258

1.    En virtud de que son muchos datos, conviene organizarlos en una tabla de distribución de frecuencias agrupadas, complétenla con base en los datos registrados y después contesten lo que se pregunta.

Tabla de distribución de frecuencias agrupadas
Clases
Límites de clase
Recuento
Frecuencia
Marca de clase
1
241 – 244
5
242.5
2
245 – 248



3




4




5






Total
120


a)    Cada grupo de datos es una clase, ¿en cuántas clases se organizaron los 120 datos? ___________________

b)    Cada clase tiene un límite inferior y un límite superior, ¿cuál es el límite inferior de la tercera clase? ______________

c)    Un criterio básico para establecer las clases es que cada uno de los datos pertenezca exactamente a una clase. Verifiquen que este criterio se cumple en la tabla que completaron.

d)    Verifiquen que la suma de frecuencias absolutas es igual al total de datos de la muestra.

e)    La marca de clase es el promedio entre el límite inferior y el límite superior de cada clase. ¿Cuál es la marca de clase de la cuarta clase? ___________

2.    Representen los datos de la tabla en un histograma. Para ello hagan lo siguiente:
a)    Anoten el título de la gráfica.

b)    Anoten los encabezados de los ejes, en el eje vertical van las frecuencias. ¿Qué va en este caso en el eje horizontal? ________________________________

c)    La escala horizontal puede construirse con la fronteras de clase: 240.5, 244.5, 248.5, así sucesivamente hasta 260.5. Otra opción es construir la escala horizontal con las marcas de clase.




3.    Elaboren tres preguntas que se puedan responder con la información contenida en su gráfica.
Primera pregunta: ___________________________________________________
Segunda pregunta: __________________________________________________
Tercera pregunta: ___________________________________________________

Consideraciones previas: En un histograma el número de barras coincide con el número de intervalos de clase. Para poder agrupar los datos en intervalos de clase, hay que determinar un número de clases (entre 5 y 12) que sea conveniente. En este caso se decidió hacer 5 intervalos con un ancho de clase igual a 4. El ancho de clase es la distancia entre el límite inferior de una clase y el límite inferior de la siguiente clase. De esta manera, 5 x 4 = 20, mientras que el rango (258 – 243) de los datos es igual a 15, se garantiza que todos los datos quedan incluidos.
Finalmente, se espera que los alumnos lleguen a una gráfica como la siguiente:


Con la finalidad de practicar lo que se ha estudiado en esta sesión se puede proponer la siguiente actividad.

El director de una escuela secundaria, preocupado por el rendimiento académico de los alumnos, decide averiguar cuántas horas estudian por semana. Para ello, selecciona una muestra aleatoria de 30 estudiantes y mediante una encuesta, obtiene los siguientes datos. 15.0, 23.7, 19.7, 15.4, 18.3, 23.0, 14.2, 20.8, 13.5, 20.7, 17.4, 18.6, 12.9, 20.3, 13.7, 21.4, 18.3, 29.8, 17.1, 18.9, 10.3, 26.1, 15.7, 14.0, 17.8, 33.8, 23.2, 12.9, 27.1, 16.6.

a) Ordena los datos de menor a mayor y organízalos en una tabla de distribución de frecuencias.

b) Representa la información en un histograma y elabora tres preguntas que se puedan responder a partir de la gráfica.



Consigna: Organizados en parejas, analicen el histograma, después, hagan lo que se indica.


1. De acuerdo con la información contenida en la gráfica, completen la siguiente tabla; luego respondan lo que se cuestiona:

Clase
Límites de clase
Fronteras de clase
Marca de clase
Frecuencia
1
17.5 - 20.5
17 – 21
19
3
2
21.5 - 24.5 
21 - 25
23

3
25.5 – 28.5
25 – 29


4
29.5 – 32.5



5
33.5 – 36.5





a)    ¿Cuál es la marca de clase del intervalo de temperaturas máximas de los Estados de la Republica?__________________ ¿Cuántos Estados alcanzan esas temperaturas? ________________
b)    ¿Cuál es la marca de clase del intervalo moda? ____________________ ¿Cuántos Estados alcanzan esas temperaturas? ______________________
c)    ¿Cuál es el rango de temperaturas que alcanza la mayoría de los Estados? ___________________________


 Gráficas poligonales.

Consigna. En parejas, con base en la información que aparece en las siguientes gráficas, contesten las preguntas.


1.    Una asesora de grupo, analizó los resultados de aprovechamiento escolar de dos grupos de segundo grado. La gráfica que obtuvo de este análisis es la siguiente:


a)    ¿Cuál es la calificación que más se repite en el grupo A? ____________

b)    ¿En cuál grupo hay mayor número de reprobados? ___________

c)    ¿Cuántos alumnos hay en cada grupo?

Grupo A: __________                                   Grupo B: ____________

d)    ¿En cuál grupo existe mayor cantidad de alumnos con calificaciones mayores o iguales que 8? ____________

e)    ¿Cuál grupo tiene mejor aprovechamiento? _______ ¿Por qué? _____________



1.    En una investigación sobre el peso de un cierto número de niños recién nacidos, se obtuvieron los siguientes datos:


Clase
Límites de clase
Marca de clase
Frecuencia
1
2.5 – 3.0
2.75
6
2
3.0 – 3.5
3.25
23
3
3.5 – 4.0
3.75
12
4
4.0 – 4.5
4.25
9



Determinen cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas:

a)    En la investigación, el número de bebés recién nacidos es 45. ___________

b)    La mayoría de los recién nacidos tienen un peso promedio de 3.25 kg. ______

c)    Los niños con menor peso son muy pocos, solo 6 de 50 niños tuvieron un peso entre 2.5 y 3 kg. _________________

d)    Lo que señala la gráfica poligonal es que el rango de pesos de los recién nacidos va de 2.5 kg a 4.5 kg. _________________